Q. E. D.

Bei der Schulmathematik wird häufig etwas "vergessen" - das Warum: Warum ist diese Formel richtig? Warum gilt jener Satz? ... ? Hier soll versucht werden "Geheimnisse" der Mathematik zu lüften und diese Lücke zu schließen.

Formeln, die im Unterricht oder vor allem in den Mathebüchern häufig nicht hergeleitet werden, sollen hier anschaulich und verständlich bewiesen werden.

 

 

 

Analysis

 

In der Analysis, genauer gesagt bei der Integralrechnung, tritt häufig das Problem auf, dass ein Integral der Funktion f(x) nicht gelöst werden kann, da die Stammfunktion f(x) einfach nicht gefunden wird.
 "Der Trick": Integration durch Substitution - das Integral wird so vereinfacht, dass dann doch eine Stammfunktion gefunden werden kann und die Aufgabe lösbar wird - kann in diesem Fall oft weiterhelfen. Jedoch wird diese Methode nicht in den Lehrbüchern eingeführt und erst recht nicht der Beweis, dass Integrale durch Substitution gelöst werden dürfen.

Zumindest soll hier versucht werden letztere Lücke zu schließen...

 

Integralrechnung

 


 

Beweis: Integration durch Substitution

 

 

  • Kettenregel
  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 

 

Es soll gezeigt werden, dass folgendes gilt: \[ \int_{a}^b  f(z(x)) \cdot z`(x) dx = \int_{z(a)}^{z(b)}  f(z) dz   \]

 

 

1. \[ g(x) = F(z(x)) \Rightarrow g`(x) = f(z(x)) \cdot z`(x) \]

2.

\[ \int_{a}^b  f(z(x)) \cdot z`(x) dx  \]

3.

 \[ = F(z(b)) - F(z(a)) \]

4.  \[ = \int_{z(a)}^{z(b)}  f(z) dz \]
 

                                                                                                                          q.e.d

 

 

1.  
Anwendung der Kettenregel
   

3.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; die entsprechende Stammfunktion ergibt sich aus 1.
   

4.

Bei 3. wurde z(b) als die obere Integrationsgrenze bzw. z(a) als die untere Integrationsgrenze "interpretiert", F ist die Stammfunktion von f

 

Quelle:

- http://www.youtube.com/watch?v=i6Er2wStwGg

 

 

Welchem Wert entspricht das Integral dieser Funktion im Intervall \( [ 0 ;\sqrt{2 \cdot \pi} ] \):   \( g(x) = sin(x^2) \cdot 2x \)

 

1.    \[ \int_{0}^{\sqrt{2 \cdot \pi}} \underbrace{sin(x^2)}_{f(z(x))} \cdot \underbrace{2x}_{z`(x)} \cdot dx \]
   
2. \[ z = x^2 \Rightarrow \frac{dz}{dx} = 2 \cdot x \Leftrightarrow \frac{dz}{2 \cdot x} = dx \]
   
3. \[ z(\sqrt{2 \cdot \pi}) = 2 \cdot \pi                                    z(0) = 0 \]
   
4.  \[ \int_{0}^{\sqrt{2 \cdot \pi}}  sin(x^2) \cdot 2x \cdot dx = \int_{0}^{2 \cdot \pi}  sin(z) \cdot 2x \cdot \frac{dz}{2x} \]
   
5. \[ = \int_{0}^{2 \cdot \pi}  sin(z) \cdot dz \]
   
6. \[ = -cos( 2 \cdot \pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0 \]

 

 Das Integral der Funktion g(x) im Intervalll \( [ 0 ;\sqrt{2 \cdot \pi} ] \)  entspricht dem Wert 0.

 

 

Stochastik

 

In dem Bereich der Stochastik soll im Folgenden gezeigt werden, dass der Erwartungswert der Binominalverteilung dem Produkt der Stichprobenmenge n und der Wahrscheinlichkeit p, dass ein Ereignis eintritt, entspricht.

Auch soll gezeigt werden, dass die Standardabweichung der Binominalverteilung der Wurzel aus dem Produkt der Stichprobenmenge n, der Wahrscheinlichkeit p und der Wahrscheinlichkeit q, dass ein Ereignis nicht eintritt, entspricht.

Für die  gaußsche Glockenfunktion soll bewiesen werden, dass das Integral einer beliebigen Glockenfunktion (beliebiger Erwartungswert und beliebige Standardabweichung) auch durch das Integral der Standard-Glockenfuktion ausgedrückt werden kann.

 

Binominalverteilung

 


 

Beweis des Erwartungswerts: \(   E(x) = \mu = n \cdot p \)

 

Mit Erwartungswert \(   E(x) = \mu \) , Stichprobenmenge n und Wahrscheinlichkeit p

 

 

  • \( 1 = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
  • http://www.informatics4kids.de/downloads/article/MathematischeGrundlagen_11.pdf
     Mathematische Grundlagen, 11.3 Das Rechnen mit dem Summenzeichen

 

 

Es soll gezeigt werden, dass für die Binominalverteilung gilt:

\[   \mu = \sum_{k=0}^n  k \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} =  n \cdot p \]

 


 

1. \[   \mu = \sum_{k=0}^n  k \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

2.

\[  = \color{red}{np} \cdot \sum_{k=0}^n  k \cdot \frac{(n \color{red}{-1)}!}{(n-k)!k!} \cdot p^{ \color{red}{k-1}} \cdot (1-p)^{\color{red}{(n-1)-(k-1)}} \]

3.

\[  = np \cdot \sum_{ \color{red}{k=1}}^n \frac{(n - 1)!}{(n-k)!(k \color{red}{-1})!} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)} \]

4. \[  = np \cdot \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} \cdot \ p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)} \]
5. \[  = np \cdot \sum_{ \color{red}{k-1=0}}^{ \color{red}{n-1}} {n-1 \choose k-1} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)}                   \| \color{green}{l = k-1 ; m = n-1} \]
6. \[  = np \cdot \underbrace{\sum_{l=0}^{m} {m \choose l} \cdot p^l \cdot (1-p)^{m-l}}_{1} \]
7. \[  = np \cdot \color{red}{1} = np \]
 

                                                                                                                          q.e.d

 

 

2.     

np wurde ausgeklammert und statt \( (1-p)^{n-k} \) wurde \( (1-p)^{(n-1)-(k-1)} \) geschrieben, denn \( (n-1)-(k-1) = n-1-k+1 = n-k \)

   

3.

 

 

Für den Index des Summenzeichens wurde statt k=0 k=1 geschrieben, warum dies möglich ist verdeutlich sich, wenn man 2) näher betrachtet für: k=0 ist

\(   k \cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!k!} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)} = 0 \)

Des Weiteren wird  \(  k \cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!k!}  \) gekürzt.

   

4.

\( {n - 1 \choose k - 1} = \frac{(n - 1)!}{((n - 1) - (k - 1))!(k - 1)!} = \frac{(n - 1)!}{(n - k)!(k - 1)!} \)

   
5. Siehe Voraussetzungen, das Summenzeichen
   
6. Für k-1 wurde l eingesetzt, für n-1 wurde m eingesetzt.
   
7. Siehe Voraussetzungen

 

Quelle:

- https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Erwartungswert (15.09.2013)

 

 

LS Stochastik S.28, Nr.8:

Bei einer Produktion von Glühbirnen entseht etwa 4% Ausschus. Dieser Produktion werden wiederholt 150 Glühbirnen entnommen. Wie viele defekte Glühbirnen sind im Mittel zu erwarten?

Die Zufallsgröße X mit n = 150; p = 0,04 gibt die Anzahl der defekten Glühbirnen an. X ist binominalverteilt.

1. Lösungsweg:

\[ \mu = \sum_{k=0}^{150}  k \cdot {150 \choose k} \cdot 0,04^k \cdot (1-0.04)^{150-k} = 6 \]

2. Lösungsweg:

\[ \mu =150 \cdot 0,04 = 6 \]


Im Mittel sind 6 defekte Glühbirnen zu erwarten.

 

 

 


 

Beweis der Standardabweichung \( Var(x) = \sigma^2 = n \cdot p \cdot q \)

 

Mit Erwartungswert E(x), Varianz \( Var(x)  = E((x - E(x))^2) = \sigma^2 \) , Stichprobenmenge n , Wahrscheinlichkeit p und q = 1 - p

 

 

  • \( 1 = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
  • http://www.informatics4kids.de/downloads/article/MathematischeGrundlagen_11.pdf
     Mathematische Grundlagen, 11.3 Das Rechnen mit dem Summenzeichen
  • \( E(x) = n \cdot p \)

 

 

Es soll gezeigt werden, dass für die Binominalverteilung gilt:

\[ \sigma^2 = Var(x) = E((x - E(x))^2)) = \sum_{k=0}^n  (k - n \cdot p)^2 \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} =  n \cdot p \cdot q \]

 

 

Erster Teil:

1. \[ Var(x) = E((x - E(x))^2) \]
2. \[ = E(x^2 - 2 \cdot x \cdot E(x) + E(x)^2) \]
3. \[ = E(x^2) - E(2 \cdot x \cdot E(x)) + E(E(x)^2) \]
4. \[ = E(x^2) - 2 \cdot E(x) \cdot E(x) + E(x)^2 \]
5. \[ = E(x^2) - E(x)^2 \]

Zweiter Teil:

6. \[ Var(x) = E (x^2) - E(x)^2 \]
7. \[ = \sum_{k=0}^n (k^2 \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) - n^2 \cdot p^2 \]
 8. \[ = \sum_{k=0}^n (\color{red}{(k \cdot (k - 1) + k)} \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) - n^2 \cdot p^2 \] 
 9.  \[ = \sum_{k=0}^n (k \cdot (k - 1) \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) + \underbrace{\sum_{k=0}^n (k \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k})}_{\color{red}{n \cdot p}}  - n^2 \cdot p^2 \]
 10.  \[ = \sum_{k=0}^n (k \cdot (k - 1) \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) + \color{red}{n \cdot p} - n^2 \cdot p^2 \]
 11.   \[ = \sum_{\color{red}{k=2}}^n (k \cdot (k - 1) \cdot \frac{n!}{(n-k)!k!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) + n \cdot p  - n^2 \cdot p^2 \]
 12.   \[ = \sum_{k=2}^n (k \cdot (k - 1) \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-k)! \cdot k \cdot (k-1) \cdot (k-2)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) + n \cdot p  - n^2 \cdot p^2 \]
 13.    \[ = \color{red}{n \cdot (n-1)} \sum_{k=2}^n \frac{(n-2)!}{\color{red}{((n-2)-(k-2))!} \cdot (k-2)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}) + n \cdot p  - n^2 \cdot p^2 \]
 14.    \[ = n \cdot (n-1) \cdot \color{red}{p^2} \sum_{\color{red}{k-2=0}}^{\color{red}{n-2}} ({n-2 \choose k-2}  \cdot p^{\color{red}{k-2}} \cdot (1-p)^{\color{red}{n-2-(k-2)}}) + n \cdot p  - n^2 \cdot p^2                        \| \color{green}{l = k-2 ; m = n-2} \]
 15.  \[ = n \cdot (n-1) \cdot p^2 \cdot \underbrace{\sum_{\color{red}{l=0}}^{\color{red}{m}} ({m \choose l} \cdot p^{ \color{red}{l}} \cdot (1-p)^{ \color{red}{m-l}})}_{\color{red}{1}} + n \cdot p - n^2 \cdot p^2 \]
16. \[ = n \cdot (n-1) \cdot p^2 + n \cdot p - n^2 \cdot p^2 \]
17. \[ = n^2 \cdot p^2 - n \cdot p^2 + n \cdot p - n^2 \cdot p^2 \]
18. \[ = -n \cdot p^2 + n \cdot p \]
19. \[ = n \cdot p \cdot (1-p) \]
20. \[ = n \cdot p \cdot q \]
  q.e.d

 

 

 1. Teil

2.      Die zweite Binomische Formel wurde angewendet.
   
3. Siehe Voraussetzungen, das Summenzeichen
   
4. Bei dem Erwartungswert \(E(x) = n \cdot p \) handelt es sich um eine Konstante, weshalb diese ausgeklammert werden kann.


2.Teil

8. \( k \cdot (k - 1) + k = k^2 - k + k = k^2 \)
   
9. Der Ausdruck \( k \cdot (k - 1) + k \) wurde ausmultipliziert und dann der gesamte Term durch zwei Summen ausgedrückt, denn es gilt zum Beispiel \( \sum_{k=1}^2 k + 2 \cdot k = 1 + 2 + 2 +4 = \sum_{k=1}^2 k + \sum_{k=1}^2 2 \cdot k \).
   
 11.  Es gilt für den Index des Summenzeichens sowohl \( k = 0 \) als auch \( k = 2 \) denn für die Werte 0 und 1, ist der Ausdruck mit dem Summenzeichen 0. Ferner wurde der Binominalkoeffizient ausgeschrieben.
   
 12.      \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n = (n - 2)! \cdot (n - 1) \cdot n \) gleiches gilt für k! im Nenner des Binominalkoeffizienten.
   
13. \( n \cdot (n - 1) \) wurde ausgeklammert, \( k \cdot (k - 1) \) wurde gekürzt und \( n - k = (n - 2) - (k - 2) \)
   
 14.  \( p^2 \) wurde ausgeklammert und \( {n-2 \choose k-2} = \frac{(n-2)!}{((n-2)-(k-2))! \cdot (k-2)!} \), siehe Voraussetzungen
   
15. Für k-2 wurde l eingesetzt, für n-2 wurde m eingesetzt.
   
16. Siehe Voraussetzungen

 

Quellen:

- http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Varianz-der-Binomialverteilung (08.12.2013)

- https://de.wikipedia.org/wiki/Verschiebungssatz_%28Statistik%29 (08.12.2013)

- https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Beweis_2 (08.12.2013)

 

Eine Zufallsgröße X ist binominalverteilt mit n = 100 und p = 0,8. Bestimme die Standardabweichung \( \sigma \) .


1. Lösungsweg:

\[ \sigma^2 = \sum_{k=0}^{100}  (k - 100 \cdot 0,8)^2 \cdot {100 \choose k} \cdot 0,8^k \cdot (1-0,8)^{100-k} \]

\[ \sigma = 4 \]

 

2. Lösungsweg:

\[ \sigma = \sqrt{100 \cdot 0,8 \cdot (1-0,8)} = 4 \]

 

Glockenfunktion

 


 

 

Beweis, dass das Integral einer beliebigen gaußschen Glockenfunktion durch das Integral der Standard-Glockenfunktion ausgedrückt werden kann

 

  •  Integration durch Substituion
  • \( \varphi_{\mu ; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \frac{1}{2} ( \frac{x - \mu}{\sigma})^2} \)

           \(\Rightarrow \varphi_{0;1}(x) =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \frac{x^2}{2}} \)

 

 

Es soll bewiesen werden, dass gilt \[ \int_{a}^b \varphi_{\mu ; \sigma} (x) dx = \int_{ \frac{a - \mu}{\; \sigma}}^{ \frac{b - \mu}{\sigma}} \varphi_{0;1} (x) dx \]

 

 

1.  
\[ \int_{a}^b \varphi_{\mu ; \sigma} (x) dx = \int_{a}^b \frac{1}{ \sigma \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ - \frac{1}{2} ( \frac{x - \mu}{\sigma})^2} (x) dx \]                                                

2.

\[ z(x) = \frac{x - \mu}{\sigma} \] \[ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sigma} \Rightarrow dz \cdot \sigma = dx \]

3.

 \[ z(b) = \frac{b - \mu}{\sigma} \land z(a) = \frac{a - \mu}{\sigma} \]

4. \[  \int_{a}^b \frac{1}{ \sigma \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ - \frac{1}{2} ( \frac{x - \mu}{\sigma})^2} (x) dx = \int_{\frac{a - \mu}{\sigma}}^{\frac{b - \mu}{\sigma}} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \frac{z^2}{2}} \cdot \sigma dz  \]  
5.  \[ = \int_{\frac{a - \mu}{\sigma}}^{\frac{b - \mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \frac{z^2}{2}} \cdot dz  \]
6.  \[ = \int_{\frac{a - \mu}{\sigma}}^{\frac{b - \mu}{\sigma}} \varphi_{0;1} (z) dz \]
   q.e.d

 

 

2.  
 Substitution                                                                                                                                      

3.

Anpassen der Grenzen

4.

Einsetzen

 


LS Stochastik S.137; Beispiel 1 c) (stetiges Merkmal):

Das Gewicht X (in g) von Rosinenbrötchen lässt sich beschreiben durch eine Normalverteilung mit \( \mu = 54   und   \sigma = 2 \)  . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass für ein zufällig herausgegriffenes Brötchen gilt \( 51 \leq X \leq 57 \) ?

 

Lösung:

\[ P_{54;2}(51 \leq X \leq 57) = \int_{51}^{57} \varphi_{54;2} (x) dx = \int_{ \frac{51 - 54}{\; 2}}^{ \frac{57 - 54}{2}}\varphi_{0;1} (x) dx = \Phi (\frac{57 - 54}{2}) - \Phi (\frac{51 - 54}{2}) \approx 0,8664 \]

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass für ein zufällig herausgegriffenes Brötchen gilt \( 51 \leq X \leq 57 \) beträgt etwa 0,8664.

 

 

 

Algebra

 

 

 

 

 Was bedeutet eigentlich q.e.d.?


Die Abkürzung q.e.d. steht für "quod erat demonstrandum", was soviel heißt wie  "was zu beweisen war", und schließt einen mathematischen Beweis ab.

 

 

 http://www.math.union.edu/~dpvc/jsmath/welcome.html